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Eliche e numeri primi-base 6: scoperto collegamento
post pubblicato in filosofia, il 23 novembre 2012


Numeri primi e multipli di 6

Una proprietà dei numeri primi citata nel Numerorum Mysteria di Petrus Bungus

 

Nella seguente tabella sono evidenziati in giallo i multipli di 6 e in verde i numeri primi.

02-03-04-05-06-07-

08-09-10-11-12-13-

14-15-16-17-18-19-

20-21-22-23-24-25-

26-27-28-29-30-31-

32-33-34-35-36-37-

38-39-40-41-42-43-

44-45-46-47-48-49-

50-51-52-53-54-55-

56-57-58-59-60-61-...

 

Tutti i numeri primi, dal 5 in avanti, sono "vicini" ai multipli di 6.

Nel linguaggio matematico, questa proprietà si enuncia così:

Tutti i numeri primi >3 sono del tipo: 6n-1 oppure 6n+1, con n numero naturale.

Questo teorema è stato stampato per la prima (?) volta nel libro di Petrus Bungus (Pietro Bongo), 1599, "Numerorum Mysteria". Bungus scrive a pag. 399:

"...semper ... numeri primi post binarium et ternarium, in senariorum multiplicium vicinia collocati comperiuntur, aut uno minores, aut uno majores."

(tutti i numeri primi maggiori di 3 e di 2 sono vicini alla tavola moltiplicativa del 6 e sono del tipo 6n + 1 o 6n - 1

La citazione di Bungus si trova in: Giuseppe PeanoFormulario Mathematico, Torino, 1908, Chap. II, Arithmetica, p. 59.

Qui di seguito riporto una riproduzione della pagina citata del Bungus unitamente al frontespizio del Numerorum Mysteria.

 

Petrus Bungus

 

 

 

Petrus Bungus

La dimostrazione del teorema è semplicissima, alcuni l'hanno definita addirittura ovvia.

a) TUTTI i numeri naturali sono del tipo:

6n-2

6n-1

6n

6n+1

6n+2

6n+3

b) ma...

6n-2 è composto perché pari

6n-1 è ???

6n è composto perché multiplo di 6

6n+1 è ???

6n+2 è composto perché pari

6n+3 è composto perché multiplo di 3

c) di conseguenza, per esclusione... TUTTI i numeri primi >3 possono essere soltanto del tipo:

6n-1

6n+1

------------------------

 

Sappiamo che i numeri primi sono infiniti ma sono infiniti anche i numeri primi della forma 6n+1 e quelli della forma 6n-1?

  • Esistono infiniti primi della forma 6n+1

Dimostrazione

Osservazione

(6a+1)(6b+1) = 6(6ab+a+b)+1 = 6n+1

Il prodotto di due numeri della forma 6n+1 è ancora un numero della forma 6n+1.

(6a-1)(6b-1) = 6(6ab-a-b)+1 = 6n+1

Il prodotto di due numeri della forma 6n+1 e 6n-1 è un numero della forma 6n+1.

Dimostrazione

???

  • Esistono infiniti primi della forma 6n-1

Dimostrazione:

Osservazione

(6a+1)(6b+1) = 6(6ab+a+b)+1 = 6n+1

(6a-1)(6b-1) = 6(6ab-a-b)+1 = 6n+1

(6a+1)(6b-1) = 6(6ab-a+b)-1 = 6n-1

Definizione di numero primo: un numero è primo se e solo se ogni qualvolta divide un prodotto divide almeno uno dei fattori.

Prendo un numero della forma 6n-1, sicuramente ha tra i suoi fattori un numero primo della forma 6n-1, infatti l'unico modo per ottenere un numero di questo tipo è moltiplicare un numero del tipo 6n+1 con uno del tipo 6n-1, per la definizione di numero primo arriverò a un certo punto ad avere un numero primo di quella forma.

Ovviamente questo non implica che ci siano infiniti numeri primi del tipo 6n-1, potrebbe essercene solo uno...

Però supponiamo per assurdo che ce ne siano finiti...

Li moltiplico tutti tra loro, poi li moltiplico per 6 e tolgo 1.

Il numero trovato non è divisibile per nessuno dei precedenti numeri, ma è ancora della forma 6n-1, per ciò c'è un numero primo della forma 6n-1 che lo divide (e non sta tra quelli dell'elenco prima...)

Quindi ci sono infiniti numeri primi del tipo 6n-1.


Questa prima parte introduttiva ben curata dal punto di vista grafico è presa dal sito:

 http://utenti.quipo.it/base5/numeri/primibungus.htm

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Scrittura della tabella di Bungus in base 6

 




 

Base 10                                                                       Base 6

Nella figura soprastante si nota che, scritti i numeri in base 6, le 2 colonne ai lati della colonna dei multipli di 6, hanno numeri che terminano in 5 a sinistra e in 1 a destra.

 

Inserimento dello schema di Bungus nel piano cartesiano

 


 

 

Si tracciano in un piano cartesiano in ascissa i 6 punti -2,-1, 0, 1, 2,  3 e si continua in ordinata positiva verso infinito scrivendo il numero 4 in (-2, 1), il numero 5 in (-1, 1) il numero 6 in (0, 1)ecc. ecc. Vedere figura:

 Si effettua un crivello derivato da quello di Eratostene in questo modo:

Dal fascio di rette passante per l’origine si fanno partire le rette:

y = x   e y = -x

y = 2x e y = -2x

y = 3x e y = -3x

e così via fino all’infinito.

Tali rette generano dal fascio di rette parallelo corrispondente

y = -x + k5

y = x - k7

delle rette parallele a “passo” 5, 7, 11, 13 ecc. ecc. corrispondenti al numero primo da dove si sono originate e che vanno ad annullare nel crivello i multipli del numero primo all’infinito.

Facendo un sistema dei due tipi di rette e conoscendo il punto (numero primo) da setacciare:

il numero è primo se la retta facente parte del fascio proprio passante per l’origine che lo tocca non interseca in quel punto alcuna retta del fascio di parallele dei multipli dei numeri primi precedenti.

La difficoltà del sistema è data dal fatto che nel crivello vengono annullati numeri da rette parallele provenienti da destra e da sinistra con un intreccio che va all’infinito, delle quali non si conoscono a priori  i coefficienti angolari e per numeri molto grandi è difficilissimo scomporre in fattori primi ogni numero.

Se invece di usare numeri in base 10 si usano numeri in base 6 (0, 1, 2, 3, 4, 5)

Si può semplificare il crivello per i seguenti motivi:

 

  1. Tutti i numeri primi in base 6 finiscono con 1 o 5 (tranne il 2 e il 3) estensione della regola scoperta da Bungus nel 1599 (6n +/- 1);  
  2. L’ordinata dei numeri terminanti con 1 è uguale al numero tolto l’1 finale (come nelle stanze d'albergo), l’ascissa è sempre +1;
  3. L’ordinata dei numeri terminanti con 5 è uguale al numero tolto il 5 finale + 1, l’ascissa è sempre -1.


     

Ripiegamento del piano a forma di cilindro

 


 


Elica realizzata con “arrotolamento” del foglio sfalsato in modo da far proseguire il numero 4 dal 3. Nel foglio della figura i numeri sono in base 10 per rendere più chiaro l'esempio.

Per semplificare i fasci di rette propri e impropri, così da avere un solo tipo di retta, passante solo per l’origine, l’unico modo è trasformare il grafico in tridimensionale (mediante un escamotage matematico che si chiama quozientazione), così le rette diventano tutte eliche cilindriche passanti per l’origine e aventi passo diverso e segno diverso.

Viene arrotolato l’asse delle x in modo da formare un’elica cilindrica (il numero 4 continua dal 3). Vedere figura soprastante.

 

Facendo passare un’elica dello stesso cilindro da 0 per un qualsiasi numero primo 5, 7, 11 ecc. ecc. essa ha il passo uguale al numero primo.

Questo lavoro è servito per dimostrare i seguenti punti:

  

  • Con i numeri in base 6 si ottiene un “raggruppamento” più efficiente dei numeri naturali perché escludendo il 2 eil 3, tutti gli altri  primi  terminano con 1 o con 5 (ma non tutti i numeri base 6 che terminano  con 1 o con 5 sono primi).”
  • Nel piano cartesiano si è visto che le rette parallele dei multipli  dei numeri primi hanno passo uguale al numero primo;
  • Se si considerano i numeri in base 6, il numero stesso fornisce la sua coordinata sul piano cartesiano (con il facile metodo sopra esposto);
  • L’arrotolamento del piano, consente di descrivere tutti i numeri fino all’infinito solo con l’equazione dell’elica, e l’elica passante per ogni numero primo ha il passo del numero primo;
“Stranamente” i numeri primi sembrano suggerirci l’efficienza della BASE 6 e la necessità dell’elica per la loro descrizione. Studiando meglio l’elica così descritta, si potrà spiegare meglio perché la natura ha usato la doppia elica del DNA con 4 basi per conservare le informazioni degli esseri viventi, gli amminoacidi levogiri e l'alfa elica destrorsa per la struttura secondaria delle proteine?

  1. http://it.wikipedia.org/wiki/Grafico_di_Ramachandran 
  2. http://it.wikipedia.org/wiki/Alfa_elica_destrorsa
  3. http://it.wikipedia.org/wiki/Alfa_elica

 

Descrizione dello schema tridimensionale e suoi presunti collegamenti con il mondo reale

 

 

Per semplificare lo schema ho pensato di sostituire i fasci propri e impropri con un elica. In questo modo si può dire che (nel piano 3d) dall'origine partono delle eliche che incontrano a destra o a sinistra tutti i numeri che si trovavano sulle due rette x=1 e x=-1 (del piano 2d). Lo schema è simile a quello del bastone di Esculapio o di Mercurio.

Immagine


In esso sono rappresentati 2 serpenti che circondano il bastone fino all'infinito. A posto dei serpenti bisogna figurarsi le prime due eliche che passano per il 5 e il 7 e annullano fino all'infinito tutti i loro multipli disposti intorno al cilindro-bastone.

E' ovvio che dopo il 5 e il 7 vengono l'11-13, il 17-19, 23-25, 29-31, 35-37 e cosi via...

->25 non è un numero primo perché è annullato dalla coda del serpente che è passata come elica per il numero 5 ed ha passo 5;

->35 non è un numero primo perché è annullato dalla coda del serpente che è passata come elica per il numero 5 ed ha passo 5, ma contemporanemaente è doppiamente annullato dall'elica dei multipli del 7 che ha passo 7.

Le eliche-serpente fanno da crivello fino all'infinito ed hanno il passo del numero primo rispettivo. 


Nella seconda parte di questo lavoro si accennerà ad alcune proprietà della Tavola Periodica degli elementi chimici  che hanno a che fare con questo lavoro.

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La seconda parte è ancora provvisoria, si prega di dare suggerimenti e/o correggere errori.


Anche per la tavola periodica degli elementi è stata data una rappresentazione a cilindro con elica prima di Mendeleev.

http://en.wikipedia.org/wiki/Alexandre-%C3%89mile_B%C3%A9guyer_de_Chancourtois



Praticamente mentre nella chimica si segue la regola dell'ottetto, nella matematica si dovrebbe seguire quella dell' "esaetto" o sestetto con i numeri in base 6.


http://www.larapedia.com/chimica_generale/meccanica_ondulatoria_di_Schrodinger.html 

Però anche nella chimica, se si considerano solo gli orbitali "2p", notiamo che sono 3 orbitali (orientati nei 3 assi principali) che si completano con 6 elettroni e tutti gli atomi più importanti per la materia organica vi rientrano.



La freccia blu indica altri elementi che sono usati dalla cellula per regolare il potenziale di membrana ed altre funzioni. La freccia rossa indica gli elementi principali della materia organica che hanno tutti orbitali "2p".



Per quello che riguarda la tavola periodica e gli elementi della materia organica, potrebbe avere un senso tralasciare gli atomi dei primi 2 orbitali "s" perchè sono diffusi in tutto l'universo per nucleosintesi primordiale, mentre gli atomi con orbitali 2p devono essere sintetizzati per forza dalle stelle ("Siamo figli delle stelle" non è solo una canzone). Comunque gli orbitali degli atomi sono costituiti come una specie di "sfoglie di cipolla" (anche se hanno forme diverse, vedere il link su Schrodinger), quindi sotto gli orbitali 2p degli elementi della materia organica, ci sono comunque gli orbitali 1s  e 2s che vengono reclutati per l'ibridizzazione.

Tutti sappiamo che l'idrogeno è l'ingrediente fondamentale dell'universo e da' vita a tutti gli altri elementi nelle supernove. Quindi possiamo considerare l'idrogeno, l'elio, il litio e il berillio elementi presenti in tutto l'universo (per nucleosintesi primordiale), mentre gli altri sono derivati dall'esplosione delle supernove o dalla morte di stelle con massa molto maggiore del Sole. Tra tutti gli elementi, quelli con gli orbitali 2p costituiscono gran parte dell'organismo dell'essere vivente. La vita ha utilizzato carbonio, azoto e ossigeno (insieme all'idrogeno onnipresente), perchè sono i primi atomi che si formano dalle stelle aventi 4 volte la massa del Sole in su. Con l'ibridizzazione dei legami praticabili mediante gli orbitali 2p e le caratteristiche particolari del carbonio (che scambia 4 elettroni in una geometria spaziale tetraedica) era possibile formare molecole sempre più complesse.

 

 

Discorso matematico sui sistemi di numerazione e loro paradossi


 

File:Talhoffer Thott 140r.jpg

Nella figura soprastante ci sono le prime spiegazioni medievali di come si usano i numeri indiano-arabi e il sistema posizionale.


Andrebbe precisato che almeno nella matematica i numeri della base 6 sono 5perché lo zero è un numero, ma forse sarebbe meglio considerarlo uno spazio vuoto: anche nei glifi della numerazione araba-indiana era tale.


Quindi va considerato un rapporto con i numeri di Fibonacci alla cui base c'è la radice di 
5 o che comunque derivano dal pentagono.


Per quello che riguarda lo zero ho premesso che è un numero (strano), però ci sono 2 modi diversi di approcciarsi ai numeri, quello degli antichi romani ed altre civiltà che danno un simbolo ad ogni numero, che è caratterizzato da una corrispondenza biunivoca tra numero e simboli diversi (o al massimo simboli additivi). C' è lo stesso una corrispondenza biunivoca tra le 10 dita delle mani e i primi dieci numeri.
Invece i sistemi più evoluti tipo quello posizionale, hanno una corrispondenza biunivoca solo per i primi 9 numeri (dato che non si incomincia a contare dallo zero, ma dall'uno). Arrivati al numero 10 dobbiamo comporre il primo numero che non ha glifi "originali", ma assegna un valore posizionale al 10 mettendolo in colonna con lo zero e cosi via per tutti gli altri numeri.
La notazione posizionale è molto utile, però nasconde questo paradosso che ho appena enunciato e del quale una civiltà primitiva si accorgerebbe subito. Dato che noi andiamo a scuola e fin da piccoli ci insegnano la notazione posizionale non ci facciamo più caso. 
Io mi sono accorto che c'era qualcosa che non andava, a 7 anni giocando a pari o dispari, perché percepii che le sorti (della probabilità di vincere) erano diverse a seconda che si usavano
5 dita o 10 dita e si considerava come pari lo zero.


 

Conclusioni

 

Concludendo, dal punto di vista chimico gli elementi del gruppo 2p hanno i seguenti vantaggi per la vita:

1) la massa di questi atomi non è elevata e consentiva alle molecole primordiali di non precipitare sul fondo della soluzione;
2) quando si verifica l'ibridizzazione degli orbitali 2p, le molecole assumono varie forme e ciò le mette in relazione con alcuni dei solidi platonici (che sono
5);


La tabella sottostante è presa da Wikipedia che ringrazio: a questa enciclopedia faccio un'offerta annuale.



 

Questo lavoro scientifico è stato scritto anche in lingua inglese (solo per la prima parte) al seguente link:

 http://ssrn.com/abstract=2166293

Vi lascio con queste 2 bellissime immagini che sono spiegate dai 2 link didascalia.



 Spirale di Ulam                                                                        Spirale di Sacks

 

Sopra: spirale di SACKS ingrandita.


Numeri rappresentati su una spirale basata sull'angolo aureo. Colori proporzionali al massimo divisore intero, in negativo (in nero) emergono i numeri primi. (Context free art v. 3 beta). Si ringrazia il sito FDSA.IT da cui è presa.

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Laureato a Bologna. Mi affascina occuparmi come hobby della sociologia e filosofia, tenendo ben presenti i problemi della natura, che soffre oltremodo per la presenza asfissiante dell'uomo. Il mio ideale è trovare una forma di convivenza degli uomini che: 1) abolisca le guerre; 2) promuova uno sviluppo sostenibile; 3) trovi un equilibrio permanente con la natura del pianeta Terra; 4) ridistribuisca le risorse tra tutti gli abitanti del pianeta; 5) aumenti le risorse relative su scala mondiale, mediante diminuzione della popolazione con un rientro morbido sotto i 4 miliardi, prima della fine del petrolio. "Imagine there's no countries It isn't hard to do, Nothing to kill or die for And no religion too. Imagine all the people Living life in peace... You may say I'm a dreamer But I'm not the only one. I hope someday you'll join us And the world will be as one. Imagine no possessions, I wonder if you can, No need for greed or hunger A brotherhood of man. Imagine all the people Sharing all the world..." Imagine di John Lennon
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